آنالیز عددی الگوریتم حل مسئله در ریاضیات پیوسته(ریاضیاتی که جدا از ریاضیات گسسته است)را مورد مطالعه قرار میدهد. آنالیز عددی اساسا به مسائل مربوط به متغیرهای حقیقی و متغیرهای مختلط و نیز جبر خطی عددی به علاوه حل معادلات دیفرانسیل و دیگر مسائلی که از فیزیک و مهندسی مشتق میشود. تعدادی از مسائل در ریاضیات پیوسته دقیقا با یک الگوریتم حل میشوند.که به روشهای مستقیم حل مسئله معروف اند.برای مثال روش حذف گائوسی برای حل دستگاه معادلات خطی است و نیز روش سیمپلکس در برنامه ریزی خطی مورد استفاده قرار میگیرد. ولی روش مستقیم برای حل خیلی از مسائل وجود ندارد.و ممکن است از روشهای دیگر مانند روش تکرارشونده استفاده شود، چون این روش میتواند در یافتن جواب مسئله موثرتر باشد. تخمین خطاهای موجود در حل مسائل از مهمترین قسمت‌های آنالیز عددی است این خطاها در روشهای تکرار شونده وجود دارد چون به هرحال جوابهای تقریبی بدست آمده با جواب دقیق مسئله، اختلاف دارد و یا وقتی که از روشهای مستقیم برای حل مسئله استفاده میشود خطاهایی ناشی از گرد کردن اعداد بوجود می‌آید. در آنالیز عددی میتوان مقدار خطا را در خور روش که برای حل مسئله به کار می‌رود، تخمین زد الگوریتم‌های موجود در آنالیز عددی برای حل بسیاری از مسائل موجود در علوم پایه و رشته‌های مهندسی مورد استفاده قرار می‌گیرند. برای مثال از این الگوریتم‌ها در طراحی بناهایی مانند پل ها، در طراحی هواپیما، در پیش بینی آب و هوا، تهیه نقشه‌های جوی از زمین، تجزیه و تحلیل ساختار مولکول ها، پیدا کردن مخازن نفت، استفاده میشود، همچنین اکثر ابر رایانه‌ها به طور مداوم بر اساس الگوریتم‌های آنالیز عددی برنامه ریزی میشوند. به طور کلی انالیز عددی از نتایج علمیحاصل از اجرای محاسبات برای پیدا کردن روشهای جدید برای تجزیه وتحلیل مسائل استفاده می‌کند.
در ریاضی سری عبارت است از مجموع جملات یک دنباله.به عبارت دیگر سری شماری از اعداد است که بین آنها عملگر جمع قرار گرفته است.
…+5+4+3+2+1
سریها بر دو نوعند: سریهای متناهی و نامتناهی؛که سریهای متناهی را میتوان با اعمال ساده جبری محاسبه کرد، ولی برای محاسبه سریهای نامتناهی باید از آنالیز کمک گرفت. به عنوان مثال سری زیر یک سری متناهی است.
یابد شکل آن به یک منحنی تبدیل مشود.و اگر تا بینهایت رسم شکل ادامه یابد به شکل تابع sinدر مآیدحال به شکل تابع sinx توجه کنید متوجه میشوید که با ادامه روند رسم اشکال به ازای nهای نامتناهی سرانجام به شکل sinx خواهیم رسید.
حال در زیر به تشریح کامل سریهای تیلور می‌پردازیم
بحث جامع
sinx تخمین تیلور(Taylor)، چند جمله‌ای‌های از درجه 1، 3، 5، 7، 9، 11 و 13
در ریاضیات، سریهای تیلور از یک تابع f حقیقی (یا مختلط) که معمولا بطور نامحدود مشتق پذیر بوده.
(a-r a+r ) تعریف شده، بصورت سریهای توانی زیر میباشد:
که در آن !n فاکتوریل n و (f (n)(a به معنی مشتق nام f در نقطه a میباشد.
اگر این سریها برای هر مقدار x در فاصله (a-r, a+r) همگرا بوده و مجموع آن برابر (f(x باشد، آنگاه تابع (f(x تحلیلی نامیده میشود. برای اطمینان از همگرایی سریها به (f(x، معمولا از تخمین برای جمله باقیمانده قضیه تیلور استفاده میشود. یک تابع تحلیلی است، اگر و فقط اگر بتوان آنرا بصورت یک سریهای توانی نمایش داد؛ ضرایب در سریهای توانی لزوما همان ضرایبی است که در فرمول سریهای تیلور داده شده است.
اگر a = 0 باشد، این سریها به نامسریهای مک‌لارین(Maclaurin) نامیده میشود.
اهمیت یک چنین سریهای توانی سه جانبه است. اول، مشتق گیری و انتگرال گیری سریهای توانی میتواند جمله به جمله انجام شود لذا بطور خاصی ساده است. دوم، یک تابع تحلیلی میتواند بطرز یکتایی به تابع هولومورفیک(holomorphic) تعریف شده روی یک صفحه باز در روی سطح مختلط، امتداد داده شود، که مکانیزم کامل تحلیل مختلط را فراهم مینماید. سوم، سریهای (کوتاه شده) میتواند برای محاسبه مقادیر تقریبی تابع استفاده شود
تابع e-1/x² تحلیلی نیست، مقدار سریهای تیلور 0 است، درحلیکه مقدار تابع غیر صفر است.
توجه داشته باشید که مثالهایی برای توابع (f(x که دارای مشتقات محدود بوده و سریهای تیلور آنها همگرا بوده ولی برابر (f(x نیست، وجود دارد. برای مثال، برای تابع تعریف شده مقطع بصورت (f(x) = exp(−1/x² اگر x ≠ 0 وf(0) = 0،
تمام مشتفات در نقطه x = 0 صفر میباشند، بنابراین سریهای تیلور (f(x صفر بوده، و شعاع همگرایی آن محدود است، اگر چه تابع بطور یقین صفر نمی باشد. این آسیب، توابع ارزشمند- مختلط برای یک متغیر مختلط را مخدوش نمی نماید. توجه اینکه با نزدیک شدن z به سمت 0 در طول محور فرضی (exp(−1/z² به 0 نزدیک نمی شود.
سریهای تیلور نوشت زیرا آنها دارای حالت استثنایی میباشند؛ در این حالتها، اغلب نیز میتوان به بست سریهایی دست یافت اگر بتوان از توانهای منفی متغیر x استفاده نمود؛ رجوع شود به سریهای لارنت«Laurent). برای مثال، (f(x) = exp(−1/x² را میتوان بر حسب سریهای لارنت نوشت.
قضیه پیشرفت اخیر برای یافتن سریهای تیلوری است که بتواند راهکاری برای معادلات دیفرانسیل باشد. این قضیه توسعه تکرار پیکارد«Picard) میباشد.
رده بندی دنیای بینهایت ها
دنیای بینهایت‌ها هم قابل طبقه بندی و ترتیب بندی است. دو نوع ترتیب بسیار مشهور در دنیای بینهایت‌ها وجود دارد. یکی از آنها در اعداد کاردینال و دیگری در اوردینال ظاهر میشود. در کاردینهالها مجموعه تمام اعداد شمارش پذیر مانند مجموعه اعداد طبیعی، مجموعه اعداد زوج، مجموعه اعداد
گویا یکسان در نظر گرفته میشود و به همه آنها و عدد الف صفر یعنی X0 نسبت داده میشود در حالی که به مجموعه بزرگتر از آنها مجموعه اعداد حقیقی، مجموعه کلیدی نقاط روی یک خط و بسیاری از مجموعه‌های دیگر، تعداد اعضای این مجموعه‌ها با عددی به نام X نشان داده میشود X0 کوچکتر از X است.
سوال جالب در منطق ریاضی این است که آیا عددی بین X0 و X وجود دارد. و جوابهای بسیار شیرین و جالبی برای این سوالها داده شده که مربوط به کارهای کوهن و گودل میباشد، آنها چیز جالبی را اثبات کردند و آن اینکه اگر عددی را ما بین این دو وجود داشته باشد و یا وجود نداشته باشد. تاثیری بر ریاضیاتی که ما داریم ندارد. در حقیقت ما مختاریم که فرض کنیم وجود دارد یا وجود ندارد. اعدادی بعدی اوردینالها است اساس شمارش مجموعه‌ها بر حسب اوردینالها بر تعریفی از ترتیب قرار دارد. به هر حال بینهایت عدد اوردینال و بینهایت عدد کاردینال وجود دارند که مقدارشان متناهی نیست؟
منبع: https://www.mathematicalrasht-un.blogfa.com/
وب‌سایت اینترنتی «چهارگوش» به آدرس www.4goush.net
با خرید این محصول فایل word و PDF مربوط به این مقاله را دریافت خواهید کرد.
لینک دانلود بی‌درنگ پس از پرداخت نمایش داده شده و فایل فشرده مربوط به این مقاله آماده دانلود خواهد بود.
تعداد صفحات: 5 صفحه | حجم فایل: کمتر از 1 مگابایت | فونت استفاده شده: B Zar | به همراه صفحه اول و عکس
